正项级数的敛散性怎样判断？

　　无穷级数常见6个公式是ln(x+1)的麦克劳林级数：x-x^2/2+x^3/3-x^4/4++(-1)^(n+1)x^n/n+。

　　x=1得ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-（阿贝尔第二定理）-1<x<1时1 bdsfid="118" (1+x^2)="1-x^2+x^4-x^6++((-1)^n)(x^(2n))+两边积分得arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+。

　　正项级数及其敛散性：

　　正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

　　百度百科-无穷级数

级数条件收敛的判断依据是什么

　　正项级数审敛法:

　　(1)比较判别法:正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界;

　　(2)比值判别法:对于正项级数,n-->正无穷时,设p=u(n+1)/u(n),则有:p<1时,级数收敛,p>1时,级数发散

　　(3)根值判别法:对正项级数,n-->正无穷时,设p=sqrt(u(n)),p为有限数或正无穷,则p<1时级数收敛,p>1时级发散

　　(4)积分判别法:对正项级数,若连续函数f(x)在区间[1,正无穷)上单调递减,且u(n)=f(n),(n=1,2,3),则级数与

　　f(x)dx有[1,正无穷)上的广义积分有相同的敛散性

　　其中,sqrt为根号下

一个正项级数收敛， 它的平方也收敛吗？ 相反， 如果一个正项级数的平方收敛， 它本身也一定收敛吗。证明

　　1、先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则“n”趋于无穷时，级数的一般项收敛于零；

　　 2、若满足其必要性。接下来，判断级数是否为正项级数：若级数为正项级数，则可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛：比较原则；比式判别法；根式判别法；

　　 3、若不是正项级数，则接下来可以判断该级数是否为交错级数；

　　 4、若不是交错级数，可以再来判断其是否为绝对收敛的级数；

　　 5、如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

怎么用比较判别法判断级数的收敛性

　　1、若一个正项级数收敛，则它的平方也收敛，这个结论是成立的，证明如下：

　　2、如果一个正项级数的平方收敛，则它本身也收敛，这个结论是错误的，反例如下：

　　扩展资料：

　　若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。

　　正项级数，是一种数学用语。所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。

　　如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。

　　正项级数收敛性的判别方法主要包括：

　　1、部分和数列判别法

　　2、比较原则

　　3、比式判别法

　　4、根式判别法

　　5、积分判别法

　　6、拉贝判别法

高数判断收敛发散的方法总结

　　前提：两个正项级数∑n=1→

　　∞an，∑n=1→

　　∞bn满足0<=an<=bn

　　结论：若∑n=1→

　　∞bn收敛，则∑n=1→

　　∞an收敛

　　若∑n=1→

　　∞an发散，则∑n=1→

　　∞bn发散。

　　建议：用比较判别法判断级数的收敛性时，通常构造另一级数。根据另一级数判断所求级数的敛散性。

　　数学分析的基本概念之一，它与“有确定的(或有限的)极限”同义，“收敛于……”相当于说“极限是……(确定的点或有限的数)”。

　　在一些一般性叙述中，收敛和收敛性这两个词(在外语中通常是同一个词)有时泛指函数或数列是否有极限的性质，或者按哪一种意义(什么极限过程)有极限。在这个意义下，数学分析中所讨论的收敛性的不同意义(不同类型的极限过程)大致有：对数列(点列)只讨论当其项序号趋于无穷的收敛性；对一元和多元函数最基本的有自变量趋于定值(定点)的和自变量趋于无穷的这两类收敛性；对多元函数还有沿特殊路径的和累次极限意义下的收敛性；对函数列(级数)有逐点收敛和一致收敛。

　　高数判断收敛发散的方法总结如下：

　　一、适用于正项级数的判别法

　　以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于0的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负1，级数的敛散性不发生变化 另外，由于0不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于0的项

　　1、比较判别法

　　用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢

　　比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件

　　注一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有n次方项，考虑几何级数比较；包好有n的幂级数结构或者n的有理式结构考虑p-级数（一般p值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑e的阶乘级数比较

　　2、比值、根值判别法

　　比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有n次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件

　　注1当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！

　　注2特别注意：极限值等于1时，敛散性不确定！

　　二、变号级数敛散性的判定

　　1、交错级数

　　交错级数即正负项交替出现的级数，其收敛性判定首选方法为莱布尼兹判别法，即不包含符号的通项单调递减趋于0，则级数收敛

　　2、一般变号级数

　　一般级数项加上绝对值后构成的绝对值级数收敛，则原级数收敛，并且称原级数绝对收敛，即绝对收敛一定收敛；绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。

　　注1如果用比值、根值判别法直接判断一个级数对应的绝对值级数发散，则原级数一定发散，因为一般项不趋于0

　　注2绝对收敛的级数符合加法的交换律和乘法的分配律，即绝对收敛的级数可以任意交换项相加其敛散性与和值不变，两个绝对收敛的级数相乘构成的级数仍然收敛，并且和就为两个级数的和的乘积

　　注3条件收敛的级数可以通过调整级数的项的前后次序收敛到任意指定的数 即条件收敛的级数不符合加法交换律

　　注4数值级数收敛性的判定给出了极限为零数列的一种证明与计算方法，即将数列视为级数的通项，如果能够判定级数收敛，则数列收敛并且极限值为0

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