直角三角形斜边中线的逆定理怎么证，两种方法

　　直角三角形斜边中线等于斜边的一半逆命题

　　如果三角形的一边中线等于该边长的一半，那么三角形为直角三角形。

　　设在△ABC中，AD为BC边的中线，且AD=1/2BC，求证：△ABC为直角三角形。

　　证法1

　　∵AD是BC边的中线，

　　∴BD=CD=1/2BC，

　　∵AD=1/2BC，

　　∴BD=AD=CD，

　　∴∠1=∠B，∠2=∠C，

　　∴∠1+∠2=∠B+∠C，

　　即∠BAC=∠B+∠C，

　　∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和180°），

　　∴∠BAC=90°，

　　∴△ABC是直角三角形。

　　证法2

　　取AC的中点E，连接DE。

　　∵AD是BC边的中线，

　　∴BD=CD=1/2BC，

　　∵AD=1/2BC，

　　∴AD=CD，

　　∵点E是AC的中点，

　　∴DE⊥AC（三线合一），

　　∴∠DEC=90°，

　　∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，

　　∴DE是△ABC的中位线，

　　∴DE//AB，

　　∴∠BAC=∠DEC=90°，

　　∴△ABC是直角三角形。

　　证法3

　　延长AD到E，是DE=AD，连接BE、CE。

　　∵AD是BC边的中线，

　　∴BD=CD，

　　又∵AD=DE，

　　∴四边形ABEC是平行四边形（对角线相等的四边形是平行四边形），

　　∵AD=1/2BC，AD=DE=1/2AE，

　　∴BC=AE，

　　∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），

　　∴∠BAC=90°（矩形的内角均为直角），

　　∴△ABC是直角三角形。

中线长定理

　　直角三角形的性质：

　　 （1）直角三角形两个锐角互余；

　　 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

　　 （3）在直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半；

　　 （4）在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°；

　　 （5）在直角三角形中,两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a^2＋b^2=c^2 (勾股定理)；

　　 （6）在直角三角形中,斜边的一半等於外接圆半径；斜边的中心是外心；

　　中线定理，又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

　　三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形有3条中线。设AABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c三角形的三条中线都在三角形内，三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

　　三角形高线与性质

　　定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。

　　(1)锐角三角形：三条高都在三角形的内部。交点也在三角形的内部。

　　(2)直角三角形：两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。交点是直角的顶点。

　　(3)钝角三角形：钝角的两边。上的高在三角形外部。交点在三角形的外部。

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